כשמסתכלים על קבוצות של מספרים ממשיים, או אפילו על קבוצות במרחבים אוקלידיים יותר מסובכים, מאוד מתבקש לבנות הגדרה לקומפקטיות של קבוצה. באופן אינטואיטיבי, המושג של קומפקטיות בא להגיד כמה קל לי לכסות קבוצה באמצעות קבוצות פתוחות. באופן מדויק - קבוצה נקראת קומפקטית אם לא משנה איך אני אבחר לכסות אותה באמצעות קבוצות פתוחות, תמיד אני אוכל למצוא מתוך הכיסוי הזה תת-כיסוי שכולל רק מספר סופי של קבוצות. זה בעצם אומר - תמיד אפשר למצוא כיסוי "לא יותר מדי מסובך" של הקבוצה.
במרחבים אוקלידיים יש לנו כמה אפיונים שקולים לקבוצות קומפקטיות, מלבד ההגדרה עצמה. למשל, אפיון די פשוט לתכונה המסובכת הזאת של קומפקטיות במרחבים אוקלידיים, הוא שקבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. עוד תכונה שימושית היא שקבוצה היא קומפקטית אם ורק אם לכל סדרה בה קיימת תת-סדרה שמתכנסת (לתכונה הזאת, שבמרחבים מטריים היא שקולה לקומפקטיות, קוראים קומפקטיות סדרתית).
כרגיל, אנחנו לא מסתפקים בלהשתמש בתכונת הקומפקטיות רק על מרחבים מטריים, ואנחנו מרחיבים אותה באופן מאוד טבעי לכל מרחב טופולוגי שמתחשק לנו. אפילו אין לנו צורך לשנות את ההגדרה למקרה הטופולוגי, שכן ההגדרה לקומפקטיות משתמשת רק בקונספט של כיסויים פתוחים (שהוא האובייקט הכי בסיסי במרחבים טופולוגיים).
למרחבים טופולוגיים קומפקטיים יש הרבה תכונות "נוחות" שעוזרות להבין עליהם הרבה דברים מעניינים, אבל האמת היא שמעט מאוד מרחבים טופולוגיים הם קומפקטיים. מה שמאוד מעניין, זה שאמנם רוב המרחבים הטופולוגיים הם לא קומפקטיים, אבל להרבה מהם אפשר לעשות משהו שנקרא קומפקטיפיקציה. הרבה פעמים אני יכול לקחת מרחב טופולוגי כלשהו, לבצע בו כמה שינויים קטנים (לרוב לשכן אותו במרחב טיפ-טיפה יותר גדול), ולקבל מרחב שהוא קומפקטי.
הדוגמה הכי מגניבה לזה היא קומפקטיפיקציה חד-נקודתית. זה מקרה שבו לוקחים מרחבים טופולוגיים מסוג מסוים, מוסיפים להם נקודה אחת בלבד (!), ומשתמשים בה כדי להרחיב את הטופולוגיה של המרחב הקודם באופן שהופך את המרחב החדש (שהוא כמעט זהה לחלוטין לקודם) לקומפקטי. זה ממש מגניב לא? אני יכול לקחת קבוצות לא קומפקטיות בעליל, להוסיף להן נקודה, ולקבל קבוצה קומפקטית.
מקרה ספציפי ומאוד מעניין הוא קומפקטיפיקציה של הישר הממשי. הוא כמובן לא קומפקטי, שכן הוא לא חסום (בכלל!). אבל מה שאני כן יכול לעשות, זה להוסיף לו נקודה אחת (לקרוא לה "אינסוף", למשל), וביחד עם הנקודה הזאת לשכן אותו באופן רציף על פני מעגל היחידה. כלומר - אני לוקח את ציר המספרים הממשיים וכורך אותו סביב מעגל היחידה. מפני שלציר הממשי אין שפה חיצונית, הוא מכסה כמעט כל נקודה על פני מעגל היחידה, למעט נקודת קצה אחת. כדי לפצות על זה, אני מוסיף את הנקודה החסרה. בסוף התהליך, אני מקבל קבוצה קומפקטית (ברור שמעגל היחידה הוא קבוצה קומפקטית - הוא סגור וחסום).
נכון שזה מטורף? לקחתי קבוצה שבמבט ראשון אין לה שום קשר לקומפקטיות, ועל ידי זה ששיניתי אותה בצורה הנכונה (אבל ממש טיפה!) קיבלתי קבוצה קומפקטית שאני מכיר ממש טוב.
למי שרוצה לראות עוד דוגמה (די דומה) לקומפקטיפיקציה, כדאי להסתכל למשל על ההטלה הסטריאוגרפית של המישור על הספירה הדו-מימדית:
https://i.redd.it/fqsru5c6v3b11.gif
