אתר אוהבי הארי פוטר בישראל

פאק אני לא מאמין שזה עדיין קיים.. / מולדו - 22/02/2015 13:22

אחרי 4 שנים.. / מולדו - 15/04/2019 13:59

long time no see [ל"ת] / נועליתה - 15/04/2019 13:23

מעגל נפתח / ביל ביסלי - 09/04/2019 20:42

/ r.a.b - 17/11/2018 21:11

מתחילים במרחב מטרי כלשהו - זו פשוט קבוצה שאני מגדיר עליה פונקציית מרחק כלשהי. היא מקיימת את כל מה שהייתי מצפה ממרחק - הוא אי-שלילי, הוא סימטרי (המרחק בין נק' א' לנק' ב' זהה למרחק בין נק' ב' לנק' א') והוא מקיים את אי-שוויון המשולש (הדרך הכי קצרה בין שתי נקודות היא מסלול ישיר).
מה שמגניב זה שמרחב מטרי לא חייב להיות אוסף רגיל של נקודות במרחב תלת-מימדי - זה יכול להיות כל קבוצה שאנחנו רוצים. אפשר להגדיר מרחקים בין פונקציות, בין מטריצות, בין איברים בחבורה, בין גרפים... בגדול בין כל דבר שמתחשק לנו.
ברגע שאנחנו מתחילים לדבר על מרחק, אנחנו יכולים להכניס הרבה עושר מתמטי למבנים שאנחנו עובדים איתם - אני יכול להגדיר מהן קבוצות פתוחות וקבוצות סגורות, מהן נקודות הצטברות, מתי פונקציות הן רציפות... זו הרחבה די טבעית על הקונטקסט המקורי של המושגים האלה, כפי שאנחנו מכירים על המספרים הממשיים. אנחנו יכולים לדבר על מתי סדרות מתכנסות (מה זה בכלל אומר, סדרה במרחב מטריצות? מסתבר שהרבה), על שקילות בין מרחבים, על העתקות בין מרחבים מטריים. בקיצור, יש לא מעט על מה לדבר.
אבל זאת רק ההתחלה, מסתבר. עם קצת דמיון, אפשר לקחת את המושג הזה של מרחב מטרי ולהכליל אותו לעולם אפילו יותר גדול, באמצעות מבנה שנקרא טופולוגיה. בטופולוגיה, במקום להגדיר מרחק (שזה משהו שלעתים בעייתי להגדיר אותו באופן משמעותי), אני פשוט מגדיר ישירות את הקבוצות שמרכיבות את המרחב שלי, ומגדיר אילו קבוצות הן פתוחות ואילו קבוצות הן סגורות. מסתבר שמספיק בהגדרה הפשוטה הזאת בשביל לתת לנו המון אינפורמציה על המרחב שלנו, כללי ככל שיהיה. כשאני מגדיר מה המשמעות של קבוצה פתוחה, אני יכול מהר מאוד לדעת איך מתנהגות פונקציות רציפות במרחב, איך שני מבנים במרחב יכולים להיות מאוד דומים אחד לשני, וכל זה מבלי אפילו לדבר על מרחק בין אובייקטים. הרעיון בטופולוגיה הוא שכבר לא אכפת לנו יותר מה באמת המרחק בין אובייקטים - רק אכפת לנו איך הם מתקשרים אחד עם השני.
מבחינתי, כדור וקוביה הם אותו דבר - אמנם מבחינה מטרית הם נראית אחרת, אבל באיזשהו אופן אני יכול לעוות את האחד ולקבל את השני, ומבחינה טופולוגית זה מספיק בשביל להגיד שהם אותו דבר. תוצאה קצת יותר מפתיעה היא שכל קטע פתוח שקול טופולוגית לישר הממשי כולו. במבט ראשון זה קצת מוזר, כי אחד הוא קבוצה חסומה והשני לא. אבל בכל זאת, אפשר לדמיין איך לוקחים קטע פתוח ומותחים אותו באופן אינסופי עד שמתקבל הישר הממשי כולו - אז מבחינה טופולוגית הם אותו דבר.
זה נראה לא כל כך שימושי במבט ראשון - למה זה שימושי לי להגיד שכדור וקוביה הם אותו דבר? אבל מסתבר שתכונות טופולוגיות הן מאפיין מאוד חזק של אובייקטים מתמטיים, ואפשר להוכיח איתן דברים מאוד מעניינים. למשל, ידעתם שאם יש לי מערכת דינמית שיש בה פונקציה עם מחזור באורך שלוש, אז המערכת היא בהכרח מערכת כאוטית? זו תכונה שנובעת מהטופולוגיה של המערכת, והיא מאוד שימושית בניתוח מערכות כאוטיות. עוד דוגמה שאני מאוד אוהב מתורת המשחקים - אפשר להוכיח באמצעות טופולוגיה שלהרבה מאוד "משחקים" (במובן המתמטי) קיימת אסטרטגיה "חכמה" שתבטיח לך שיווי משקל אל מול היריב שלך. דוגמה אחרונה ומאוד מעניינת - אפשר להוכיח טופולוגית שבכל רגע נתון, יש שני קטבים מנוגדים בכדור הארץ שיש בהם את אותה טמפרטורה ואותו לחץ אוויר. זה לא מגניב ממש? הרי מה הקשר בכלל? מסתבר שיש קשר.

/ r.a.b - 03/01/2019 20:21

כשמסתכלים על קבוצות של מספרים ממשיים, או אפילו על קבוצות במרחבים אוקלידיים יותר מסובכים, מאוד מתבקש לבנות הגדרה לקומפקטיות של קבוצה. באופן אינטואיטיבי, המושג של קומפקטיות בא להגיד כמה קל לי לכסות קבוצה באמצעות קבוצות פתוחות. באופן מדויק - קבוצה נקראת קומפקטית אם לא משנה איך אני אבחר לכסות אותה באמצעות קבוצות פתוחות, תמיד אני אוכל למצוא מתוך הכיסוי הזה תת-כיסוי שכולל רק מספר סופי של קבוצות. זה בעצם אומר - תמיד אפשר למצוא כיסוי "לא יותר מדי מסובך" של הקבוצה.
במרחבים אוקלידיים יש לנו כמה אפיונים שקולים לקבוצות קומפקטיות, מלבד ההגדרה עצמה. למשל, אפיון די פשוט לתכונה המסובכת הזאת של קומפקטיות במרחבים אוקלידיים, הוא שקבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. עוד תכונה שימושית היא שקבוצה היא קומפקטית אם ורק אם לכל סדרה בה קיימת תת-סדרה שמתכנסת (לתכונה הזאת, שבמרחבים מטריים היא שקולה לקומפקטיות, קוראים קומפקטיות סדרתית).
כרגיל, אנחנו לא מסתפקים בלהשתמש בתכונת הקומפקטיות רק על מרחבים מטריים, ואנחנו מרחיבים אותה באופן מאוד טבעי לכל מרחב טופולוגי שמתחשק לנו. אפילו אין לנו צורך לשנות את ההגדרה למקרה הטופולוגי, שכן ההגדרה לקומפקטיות משתמשת רק בקונספט של כיסויים פתוחים (שהוא האובייקט הכי בסיסי במרחבים טופולוגיים).
למרחבים טופולוגיים קומפקטיים יש הרבה תכונות "נוחות" שעוזרות להבין עליהם הרבה דברים מעניינים, אבל האמת היא שמעט מאוד מרחבים טופולוגיים הם קומפקטיים. מה שמאוד מעניין, זה שאמנם רוב המרחבים הטופולוגיים הם לא קומפקטיים, אבל להרבה מהם אפשר לעשות משהו שנקרא קומפקטיפיקציה. הרבה פעמים אני יכול לקחת מרחב טופולוגי כלשהו, לבצע בו כמה שינויים קטנים (לרוב לשכן אותו במרחב טיפ-טיפה יותר גדול), ולקבל מרחב שהוא קומפקטי.
הדוגמה הכי מגניבה לזה היא קומפקטיפיקציה חד-נקודתית. זה מקרה שבו לוקחים מרחבים טופולוגיים מסוג מסוים, מוסיפים להם נקודה אחת בלבד (!), ומשתמשים בה כדי להרחיב את הטופולוגיה של המרחב הקודם באופן שהופך את המרחב החדש (שהוא כמעט זהה לחלוטין לקודם) לקומפקטי. זה ממש מגניב לא? אני יכול לקחת קבוצות לא קומפקטיות בעליל, להוסיף להן נקודה, ולקבל קבוצה קומפקטית.
מקרה ספציפי ומאוד מעניין הוא קומפקטיפיקציה של הישר הממשי. הוא כמובן לא קומפקטי, שכן הוא לא חסום (בכלל!). אבל מה שאני כן יכול לעשות, זה להוסיף לו נקודה אחת (לקרוא לה "אינסוף", למשל), וביחד עם הנקודה הזאת לשכן אותו באופן רציף על פני מעגל היחידה. כלומר - אני לוקח את ציר המספרים הממשיים וכורך אותו סביב מעגל היחידה. מפני שלציר הממשי אין שפה חיצונית, הוא מכסה כמעט כל נקודה על פני מעגל היחידה, למעט נקודת קצה אחת. כדי לפצות על זה, אני מוסיף את הנקודה החסרה. בסוף התהליך, אני מקבל קבוצה קומפקטית (ברור שמעגל היחידה הוא קבוצה קומפקטית - הוא סגור וחסום).
נכון שזה מטורף? לקחתי קבוצה שבמבט ראשון אין לה שום קשר לקומפקטיות, ועל ידי זה ששיניתי אותה בצורה הנכונה (אבל ממש טיפה!) קיבלתי קבוצה קומפקטית שאני מכיר ממש טוב.
למי שרוצה לראות עוד דוגמה (די דומה) לקומפקטיפיקציה, כדאי להסתכל למשל על ההטלה הסטריאוגרפית של המישור על הספירה הדו-מימדית:
https://i.redd.it/fqsru5c6v3b11.gif

/ r.a.b - 27/03/2019 20:03

מושג חשוב בטופולוגיה הוא הומאומורפיזם בין שני מרחבים טופולוגיים. הומאומורפיזם היא פונקציה בין שני מרחבים טופולוגיים שמקיימת כמה תכונות (רציפה, הפיכה ועם הופכית רציפה) שאפקטיבית מאפשרות לנו לקבוע ששני המרחבים הטופולוגיים מתנהגים בצורה מאוד דומה. כלומר, הם יכולים להיות מאוד שונים למראית עין, אבל מבחינה טופולוגית הם מקיימים את אותן תכונות בדיוק. כבר נתתי בעבר את הדוגמה שקוביה וכדור הם "אותו דבר" טופולוגית. הנה הנפשה שמראה שגלגל ים (טורוס) הוא אותו דבר טופולוגית כמו כוס קפה, מפני שאפשר באופן רציף לעבור מהאחד לשני:
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mug_and_Torus_morph.gif

בכל מקרה, אחת המטרות הגדולות של הטופולוגים בתחילת המאה ה-20 הייתה לנסות למצוא דרך לקבוע בצורה פשוטה יחסית (בלי לחפש הומאומורפיזם, שזה לרוב משימה קשה) מתי שני מרחבים טופולוגיים הם הומאומורפיים. זו כמעט תמיד שאלה קשה - מרחבים טופולוגיים יכולים להיראות מאוד מוזר - אבל במקרה של משטחים דו-מימדיים, מסתבר שיש דרך די פשוטה.
משפט המיון למשטחים קומפקטיים דו-מימדיים הוא למעשה דרך יפה מאוד שמאפשרת לנוע אפקטיבית לדעת מהם "כל הסוגים" השונים של משטחים שיכולים להיות קיימים, טופולוגית. משטח דו-מימדי זה כל מרחב טופולוגי שהשפה שלו נראית כמו יריעה דו-מימדית. ספירה (כדור חלול) היא דוגמה למשטח כזה, או הטורוס שרואים בהנפשה.
נשים לב שאם יש לי שני משטחים, שני טורוסים למשל, אני יכול ליצור מהם משטח חדש - אני אחתוך חתיכה קטנה מכל טורוס, ואדביק אותם לאורך האזורים שחתכתי. למשטח החדש שנוצר, קוראים הסכום הקשיר של שני המשטחים. אם אני אסתכל למשל על הסכום הקשיר של שלושה טורוסים, אני אקבל משהו שנראה כמו ספינר. אם אני אסתכל על סכום קשיר של שתי ספירות, אני אקבל עוד פעם ספירה (מהבחינה הזאת, ספירה מתנהגת קצת כמו המספר אפס - אפשר לחבר אותה לכל מספר אחר ולקבל את אותו מספר).
משפט המיון למשטחים טוען את הדבר המדהים הבא - כל משטח דו-מימדי שתקחו, לא משנה כמה מוזר, יהיה בוודאות אחד משלושת הדברים הבאים:
1. ספירה
2. סכום קשיר של מספר כלשהו של טורוסים
3. סכום קשיר של מספר כלשהו של טורוסים, בתוספת של בקבוק קליין אחד.
(בקבוק קליין הוא סוג של משטח דו-מימדי מוזר שאפשר לקרוא עליו כאן - https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_bottle)

במילים אחרות, המשפט בעצם אומר שקיימים שלושה משטחים יסודיים - ספירה, טורוס ובקבוק קליין, שמהם אפשר להרכיב כל משטח אחר. זה קצת כמו המשפט החשוב שאומר שכל מספר טבעי ניתן לפרק למכפלה של מספרים ראשוניים - אבל מי יכל לתאר לעצמו שקיים משהו דומה עם משטחים?
ההוכחה של המשפט היא ממש יפה (ומסובכת - אני לא עומד לכתוב אותה כאן), והיא מבוססת על זה שאפשר לקחת כל משטח ולהסתכל עליו דרך משקפיים אלגבריות - באמצעות תהליך תרגום חכם מאוד, אני יכול לקחת כל משטח ולתרגם אותו לאובייקט אלגברי, שמתוך התכונות שלו אני יכול בקלות לקרוא בדיוק מהם המשטחים היסודיים שמרכיבים אותו - טורוסים, בקבוקי קליין וכו'.

עצובשיש בעמוד אחד פוסטים משלוש שנים [ל"ת] / איתי ליד - 27/02/2019 19:12

האתר הזה ממש מחזיר אותי לימים אחרים / לילי5 - 22/09/2018 22:42

ימים טובים [ל"ת] / איתי ליד - 27/02/2019 19:11

אהלן, כבר לא זוכר את שם המשתמש הישן / agenda - 13/02/2019 14:48

הייתי ידוע בתור הקוסם מרומניה / agenda - 13/02/2019 15:09

פתחתי את הכרום / קוסמלוף - 13/02/2019 20:44

עדיין מתרגשת מהאתר הזה משום מה.. [ל"ת] / סיוימיוני - 22/12/2018 20:35

הנה שוב / קייטי - 28/11/2018 21:22

פאק כמה שזה מוזר / קנטע - 23/09/2018 00:24

/ קנטע - 23/09/2018 01:01

/ אלבוס דמבלדור הכל יכול - 09/06/2018 21:45

וואי אני זוכר אותך... / פוטר החדש - 06/07/2018 15:55

למי שהייתם ממי שנהייתי / הרמירותי - 03/05/2018 14:59

הדחקתי את השנים האלה. שכחתי שהזדהתי בשם רות.
צבעתי את השיער, עברתי לעיר אחרת, אימצתי רוטווילרית, ורק כשהדלת נסגרה מאחורי אחרי שעברתי לבד הצלחתי לשחזר את תחושת הנינוחות והביטחון שנתן לי קיר הלבנים ברקע.
ועכשיו האצבעות זוכרות את הסיסמה של המשתמש, והמוח מסרב לעקל שזו הייתי אני אז.
אני שמחה שהאתר שומם. במקום להפוך למועדון מעריצים הוא נשאר הבית של הילדים שהיינו. חדר הנחיצות של מי שהיינו לפני עשור.
אנחנו הדור שהתבגר יחד עם האינטרנט, ומה שהיום נראה לנוער טריוויאלי עבורי היה כמו מכתב מהוגוורטס שבא באיחור.
כל מה שהיה לנו זה מקלדת ואווירה קסומה, ואנחנו ארגנו נשפים ויצאנו להרפתקאות. אנחנו? מי שהיינו.

האתר לא מת. יש בו עשרות אלפי עמודי פורום. הודעות מבולגנות ואקראיות שאי אפשר להריץ עליהן חיפוש או למיין (לפחות לא בתור משתמש) אבל אפשר לשגר את עצמך לכל נקודה בזמן כדי לצפות במה שקרה שם. ממש כמו עם הגיגית.

לסלוח זה לוותר על תקווה לעבר טוב יותר. אבל האדם היחיד לו אני יכולה לסלוח על שנים של התעללות נפשית הוא רות. אף שמעולם לא כעסתי עליה.
את לא אשמה, לא היתה לך אפשרות להתבגר אחרת. לקח לי שנים להפנים שלא הגיע לי היחס שקיבלתי, ושאני ראויה לכבוד ויש לי זכות קיום. עכשיו אני אשאיר את רות כאן, במקום בו הרגישה הכי טוב אז, ב2005. לי יש הרבה יותר כוח ממה שהיא אי פעם העזה לקוות לו. ורוטווילר. מכאן זו כבר אחריות שלי.

/ אלבוס דמבלדור הכל יכול - 20/05/2018 23:15

פורום דיבורים